R={{r11,r12,r13},{r21,r22,r23},{r31,r32,r33}};
R//MatrixForm
U={{u11,u12,u13},{u12,u22,u23},{u13,u23,u33}};
U//MatrixForm

U1=R.U.R\[Transpose];
uu=Collect[{U1[[1,1]],U1[[2,2]],U1[[3,3]],U1[[1,2]],U1[[1,3]],U1[[2,3]]},{u11,u22,u33,u12,u13,u23}]

P={uu/.{u11->1,u22->0,u33->0,u12->0,u13->0,u23->0},
uu/.{u11->0,u22->1,u33->0,u12->0,u13->0,u23->0},
uu/.{u11->0,u22->0,u33->1,u12->0,u13->0,u23->0},
uu/.{u11->0,u22->0,u33->0,u12->1,u13->0,u23->0},
uu/.{u11->0,u22->0,u33->0,u12->0,u13->1,u23->0},
uu/.{u11->0,u22->0,u33->0,u12->0,u13->0,u23->1}}\[Transpose];
P//MatrixForm

Simplify[uu==P.{u11,u22,u33,u12,u13,u23}]